Sonlu Elemanlar Yönteminde Implicit vs Explicit Yaklaşımı

Explicit ve implicit yöntemleri, fiziksel süreçlerin bilgisayar tabanlı simülasyonlarını gerektiren zamana bağlı sıradan ve kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerine ulaşmak ve sayısal yaklaşımlar elde etmek için sayısal analizde kullanılır.

Explicit yöntemleri sistemin anlık durumundan belli bir zaman sonraki durumunu hesaplarken, implicit yöntemleri hem sistemin mevcut durumunu hem de sonraki durumu içeren bir denklemi çözerek bir çözüm bulur.

Bütün doğrusal olmayan ve dinamik analizler için sınır koşullarındaki uygulanan kuvvetlerin artımlı/kademeli olarak uygulanması gerekir. Bu sorunları çözmek için genellikle “implicit” ve “explicit” yöntemleri kullanılır.

Statik analizde, kütle (atalet) veya sönümleme etkisi yoktur. Dinamik analizde, kütle/atalet ve sönümleme ile ilişkili düğüm kuvvetleri dahil edilmiştir. Dinamik analiz, explicit çözücü veya implicit çözücü aracılığıyla yapılabilir.

Doğrusal olmayan implicit analizinde, her adımın çözümü, belirli bir tolerans dahilinde denge kurmak için çözüm yinelemelerini gerektirir. Explicit analizinde düğüm ivmeleri doğrudan çözüldüğü için yineleme gerekmez.

Implicit ve Explicit Arasındaki Fark?

Implicit ve Explicit analizleri zaman artışı yaklaşımında ayrışır. Implicit analizde her bir zaman artışının yakınsaması gerekir, ancak oldukça uzun zaman aralıkları (time step) ayarlayabilirsiniz. Aksine, Explicit analiz her zaman aralığında yakınsamsı gerekmez, ancak çözümün doğruluğu için zaman artışlarının çok küçük olması gerekir.

Implicit transient analizin zaman arakığı sınırı yoktur. Implicit zaman adımları genellikle explicit zaman adımlarından daha büyüktür.

Implicit ve Explicit Hesaplamaları

Tüm bu problemler matematiksel kısmi diferansiyel denklemlerle ifade edilir. Bu matris denklemleri doğrusal veya doğrusal olmayan olabilir. Çoğu yapısal problemde, doğrusal olmayan denklemler üç kategoride ele alınır:

• Malzeme Nonlinearity:
• Geometrik Nonlinearity:
• Kontak Nonlinearity:

Detaylı bilgi için: Nonlinearites (Doğrusal olmama durumu)

Formülleştirme:

Doğrusal problemlerde, kısmi diferansiyel denklemleri matris denklemini şu şekilde basitleştirir:

[K]{x} = {f}

k = sertlik matrisi
x = yer değiştirme/sapma
F = kuvvet

Doğrusal olmayan statik problemler için:

[K(x)]{x} = {f} → [k₀ + k₁• x + k₂ • x² +…]{x} = {f}

Dinamik problemler için matris denklemleri şöyle olur:

[M]{x´´} + [C]{x´} + [K]{x} = {f}

x´ = hız
x´´ = ivme
C = sönümleme matrisi
M = kütle matrisi

Hangi Durumlarda Implicit kullanılır?

Implicit yöntemi, sınır koşulları yapıyı yavaşça etkilediğinde ve gerinim hızlarının etkileri minimum olduğunda kullanılmalıdır.
Gerinimin bir fonksiyonu olarak gerilim artışı oluşturulduğunda, geometri implicit yöntem kullanılarak analiz edilebilir.

Modeldeki global denge (global equilibrium) zaman artışı her zaman sağlanır. Bu, her artışın yakınsaması gerektiği anlamına gelir.

Global denge yakınsandıktan sonra, çözücü her artış için tüm yerel sonlu eleman değişkenlerini (gerilmeler, gerinim, vb.) hesaplar.

• Avantaj: Global denge her bir zaman artışında doğrulandığından, bu zaman artışları büyük olabilir.
  
• Dezavantaj: Her zaman artışı yavaş hesaplanır ve global dengeye ulaşmak için yinelemelere ihtiyaç vardır.

Hangi Durumlarda Explicit kullanılır?

Gerinim oranı, saniyede 10^-3 veya daha fazlasına eşit olduğunda explicit yöntem kullanılmalıdır. Bu olaylar otomotiv kazaları, balistik patlama, düşme gibi bazı örneklerle gösterilebilir. Bu gibi durumlarda gerilme ile gerilimin değişiminin yanı sıra, gerinim hızı da dikkate alınmalıdır.

Kontrol edilecek veya yinelenecek yakınsama kriteri yoktur. Çözücü doğrudan yerel sonlu eleman değişkenlerinin hesaplanmasına odaklanır.

Çözücü, verilen artış için tüm yerel sonlu eleman değişkenlerini hesaplar ve bir sonrakine geçer.

• Avantaj: Her zaman artışı son derece hızlı hesaplanır.
• Dezavantaj: Zaman adımı çok çok küçük olması gerekir. Aksi takdirde bu dengeyi sürdürmek imkansızdır.

Hangisi daha iyi: Implicit veya Explicit?

Hem implicit hem de explicit çözücü aynı tür problemleri çözer. Teknik olarak her ikisi de tüm durumlar için aynı sonucu vermelidir. Aynı sorunu her iki yaklaşımla da analiz edebilirsiniz. Tek fark, zaman artışına olan yaklaşımdır. Fakat bu yaklaşım hayati öneme sahiptir.

• Implicit analizi, istediğiniz zaman artışının ne kadar büyük olacağını seçmenize olanak tanır. Bu artışın hesaplanması, global denge için yinelenmesi gerektiğinden biraz zaman alacaktır.
• Explicit zaman artışı gerçekten hızlı hesaplanır. Basitçe, global denge için yinelemeye de gerek olmadığından zaman artışı otomatik olarak ayarlanacaktır. Çözücü kabul edilebilir zaman artışının “X” olduğunu varsayar ve onunla birlikte gider. Bu varsayılan zaman adımı çok çok küçüktür.

Özetlersek

Analizinizdeki koşullar nispeten yavaş gerçekleşirse implicit çözücü gerçekten iyidir. Diyelim ki analiz 1 saniyeden uzun. Bunun avantajı, istediğiniz kadar büyük zaman artışını seçebilmenizdir.

1. Bilinmeyen x değeri, sertlik matrisi (K) hesaplaması ile bulunur.
2. Newton-Raphson / Enforced denge çözüm yöntemleri.
3. Newton metodu kullanılır.
4. Daha Hassas.
5. Büyük modeller için son derece zaman alıcı.
6. Daha fazla bilgisayar depolama alanı gerektirir.
7. Gerinim oranı saniyede 10^-3’ten az.
8. Analiz yük hızının yavaş olduğu yapısal dinamik tipte problemler için uygundur;
   – Düşük frekans tepkisi
   – Titreşim
   – Salınım
   

Explicit çözücü, hızlı analiz koşulları için harikadır (<0,1 saniye). Zaman artışını seçemezsiniz çünkü çözücü otomatik olarak ayarlayacaktır. Explicit çözücü zaman artışının ne kadar büyük olması gerektiğini hesaplar. Malzeme özelliklerinde ses hızı malzeme yoğunluğuna bağlıdır. Buna “toplu ölçekleme” (mass scaling) denir. Analizdeki zaman adımı, mesh (eleman boyutu ve eleman kalitesi), malzeme yoğunluğu ve young’s modül değerlerine bağlıdır.

1. Bilinmeyen x değeri, kütle matrisi (M) hesaplaması ile bulunur.
2. Direk çözüm yöntemi.
3. Merkezi fark yöntemleri kullanılır.
4. Daha az hassas.
5. Kısa dinamik tepki süresine sahip büyük modellerin hesaplamasında verimli.
6. Daha az bilgisayar depolama alanı gerektirir.
7. Gerinim oranı saniyede 10^-3’e eşit veya daha fazla.
8. Dalga yayılımı olan yapısal dinamik tipte problemler için uygundur;
   – Araba kazası
   – Patlama
   – Düşüş
   – Darbe etkisi

Kaynaklar:
wikipedia.org
simscale.com
enterfea.com