Mühendislik

Explicit Analizde Karakteristik Uzunluk

Explicit integraller, doğrusal ve doğrusal olmayan birçok dinamik analizde önemli bir rol oynar. Sonlu eleman yöntemi, çözülmesi gereken sıradan diferansiyel denklemler sisteminin uzamsal ayrıklaştırılması için geçerlidir ve bu genellikle merkezi fark yöntemi ile yapılır.

Karakteristik uzunluk, fiziksel bir sistemin ölçeğini tanımlayan önemli bir boyuttur. Genellikle, bu tür bir uzunluk, sistemin bazı özelliklerini tahmin etmek için bir formüle girdi olarak kullanılır ve genellikle boyutsuz bir miktarın oluşturulması için gereklidir.

Hesaplamalı mekanikte, bir gerilim yumuşatmasının lokalizasyonunu oluşturmak için karakteristik bir uzunluk tanımlanır. Uzunluk, bir entegrasyon noktasıyla ilişkilidir. 2D analiz için alanın karekökü alınarak hesaplanır. 3D analiz için, entegrasyon noktasıyla ilişkili hacmin kübik kökü alınarak hesaplanır.

Karakteristik uzunluk, genellikle bir sistemin hacminin yüzeyine bölünmesiyle elde edilir.

Detaylı bilgi için: Sonlu Elemanlar Yönteminde Implicit vs Explicit Yaklaşımı

Eleman Şeklinin Etkileri

Kritik zaman adımının eleman boyutuyla orantılı olduğu iyi bilinmektedir (genellikle elemanın bitişik olmayan herhangi iki kenarı veya yüzü arasındaki en küçük mesafe olarak alınır), normal olmayan eleman şekillerinin etkileri literatürde çok daha az görünmektedir.

Karakteristik Uzunluğun Hesaplanması

Stabilizasyon parametrelerinin hesaplanması, sayısal çözümün kararlılığı ve doğruluğunun etkileri açısından çok önemli bir konudur.

Stabilizasyon parametrelerini hesaplamak için farklı prosedürler tipik olarak stabilize denklemlere dayanmaktadır.

Explicit zaman integral yöntemleri, hızlı-geçici süreçlerin dinamik denklemlerini çözmek için en popüler yöntemlerdir. Toplu kütle matrisleriyle birleştirildiğinde, açık algoritmalar minimum CPU süresi ve her zaman aralığı (adımı) için bilgisayar belleği gerektirir, ve bunların uygulanması çok kolaydır. Simülasyonun kararlı kalması için zaman integrali için kullanılan zaman adımı kritik zaman adımından daha küçük seçilmelidir.

Kritik Zaman Aralığı

FEA için explicit zaman integral yöntemleri, mevcut veya önceki zaman adımında hesaplanan miktarlar açısından bir sonraki zaman adımı için bilinmeyenleri belirler. Explicit yöntem, sayısal kararlılığı sağlamak için C koşulununda zaman adımını Δt gerektirir.

Δtc = Kritik Zaman Aralığı (Critical Time-Step)
Lc = Karakteristik Uzunluk (Characteristic Length)
cw = Dalga Yayılma Hızı (Wave Propagation Speed)

Explicit bir FEA’da, dalganın her bir zaman adımında birden fazla elemana yayılmaması için yeterince küçük olmalıdır. Kritik zaman adımı, malzeme özelliklerinin yanı sıra eleman boyutuna ve şekline bağlıdır. Sayısal kararlılık için kritik zaman adımı, her eleman için her an hesaplanmalıdır.

Sayısal zaman adımı, belirli bir malzeme için FEM’deki (Sonlu Elemanlar Metodunda) en küçük eleman tarafından belirlenir. İyi planlanmış tek tip bir mesh, explicit bir FEA’da hesaplama süresini (yüksek kritik zaman adımı) azaltmak için genel bir kılavuzdur.

Karakteristik uzunluk “l” ve dalga yayılma hızı “c” eleman tipine bağlıdır.

E = Elastikiyet Katsayısı (Young’s Modulus of Elasticity)
v = Poisson Katsayısı (Poisson’s Ratio)
p = Belirli Kütle Yoğunluğu (Specific Mass Density)

Kritik Zaman Aralığı’nın kontrolü

Malzemenin dalga hızı, sonlu elemanın yüksek dereceden normal modlarının doğası ve eleman geometrisinin kritik zaman adımını belirlemek için kabul edilir. Bu bilgi, kritik zaman adımını kontrol etmek ve çalıştırmak için literatürde kullanılmıştır. Kritik zaman aralığının en büyük özdeğer (eigenvalue) tarafından ayarlanmasıdır; bu nedenle, fiziksel özellikler, daha büyük özdeğerler düşürülürken küçük özdeğerler etkilenmeden kalacak şekilde ayarlanabilir.

Kaynaklar:
engmech.cz
compassis.com
dynasupport.com
sciencedirect.com